Биссектриса угла, биссектриса треугольника: что это такое и в чем разница

Что означает слово «биссектриса»?

«Биссектриса» – слово латинского происхождения, состоящее из двух частей: «bi» – «пара, двойное» и «sectio» – «разрезать, делить».

Название отражает суть: деление чего-то пополам, то есть на две равные части. В случае биссектрисы в роли «чего-то» выступает угол, который она делит на два угла.

https://www.youtube.com/watch?v=C19nJjlWGLI

Если при упоминании биссектрисы вам на ум приходит «крыса, бегающая по углам и делящая их пополам» из известного двустишия, то в принципе это не будет ошибкой ее определения, с той лишь поправкой, что каждая такая «крыса» должна замереть в конкретном положении для заданного угла, чтобы каждая ее точка была равноудалена от сторон этого угла.

Биссектриса треугольника (егэ — 2021) | youclever

Теперь все. Понять – легко. А раз понял, можешь запомнить.

Теперь следующий вопрос.

Почему же в случае с равнобедренным треугольником биссектриса оказывается одновременно и медианой и высотой?

Можно просто посмотреть на рисунок и убедиться, что медиана ( BL ) разбивает ( triangle ABC ) на два абсолютно равных треугольника.

Вот и все! Но математики не любят верить своим глазам. Им нужно все доказывать.

Страшное слово?

Ничего подобного – все просто!

Смотри: у ( triangle ABL ) и ( triangle CBL ) равны стороны ( AB ) и ( BC ), сторона ( BL ) у них вообще общая и ( angle 1=angle 2). (( BL ) – биссектриса!)

И вот, получилось, что два треугольника имеют по две равные стороны и угол между ними.

Вспоминаем первый признак равенства треугольников (не помнишь, загляни в тему «Треугольник») и заключаем, что ( triangle ABL=triangle CBL ), а значит ( AL )= ( CL ) и ( angle 3=angle 4 ).

( AL ) = ( CL ) – это уже хорошо – значит, ( BL ) оказалась медианой.

А вот что такое ( angle 3=angle 4 )?

Посмотрим на картинку – ( angle 3 angle 4text{ }=text{ }180{}^circ ).

А у нас получилось, что ( angle 3=angle 4 ).

Значит, ( 2cdot angle 3=180{}^circ ) и ( 2cdot angle 4=180{}^circ ) тоже!

Наконец, ура! ( angle 3=90{}^circ ) и ( angle 4=90{}^circ ) .

Показалось ли тебе это доказательство тяжеловатым?

Посмотри на картинку – два одинаковых треугольника говорят сами за себя.

В любом случае твердо запомни:

Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит это основание пополам и перпендикулярна ему.

Готов дальше?

Теперь сложнее…

Задача №1

В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.

Решение.

Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.


Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.

Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.

Это означает, что CA : AB = 1 : 2.

Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.


Ответ: 90°, 60°, 30°.

Задача №2

Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.

Доказательство.

Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.


По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.

Доказано.

Математика


Работы:
ВсеИзбранныеВ помощь учителюКонкурс «Учебный проект»

Учебный год:
Все2021 / 20212021 / 20212021 / 20212021 / 20212021 / 20212021 / 20212009 / 20212008 / 20092007 / 20082006 / 20072005 / 2006

Сортировка:

  • В данной работе автор постаралась собрать и обобщить некоторые советы и рекомендации по рациональному и экономному ведению домашнего хозяйства. Самая важная задача для каждого человека — научиться жить по средствам, то есть вместить расходы в рамки доходов.

  • Автор доказывает малоизвестное свойство биссектрисы треугольника, а также рассматривает задачи, для решения которых можно использовать это свойство. Рассматриваются два способа решения некорректной задачи на свойства биссектрисы и предлагаются два корректных варианта решения.

  • Большую роль при изучении математики играет устный счёт. На уроках математики мы используем различные приёмы быстрого счёта, которые мы называем «математические хитринки». В представленной работе описаны алгоритмы вычисления квадратов двузначных чисел (таблицы квадратов), которые можно использовать как приёмы устного (быстрого) счёта. Алгоритмы разработы по столбцам и строчкам таблицы квадратов.

  • Большую роль при изучении математики играет устный счёт. В работе показаны закономерности вычисления квадратов двузначных чисел и извлечение квадратного корня, разработанные алгоритмы можно применять не только в математике как приёмы устного счёта, но использовать их на практике.

  • Продолжение исследовательской работы “Таблица квадратов” (алгоритмы), в которой представлены алгоритмы возведения в квадрат двузначных чисел, извлечение квадратного корня.

  • Знать наизусть таблицу умножения необходимо каждому человеку, однако выучить ее отнюдь не всегда легко. Для меня самой сложнее всего было выучить таблицу умножения на девять. Стремяь облегчить эту задачу, я открыла для себя несколько способов, помогающих запомнить таблицу умножения на девять без заучивания наизусть. Эти способы описаны в настоящей работе.

  • В работе автором была выдвинута теория о том, что пропорции дворца Тадж-Махала онованы на динамических прямоугольниках. После доказательства данной теории, ученица попыталась воссоздать схему фасадов здания, а также его план.

  • В работе представлен занимательный материал для развития познавательного интереса учащихся. Материал может быть использован учителями на внеклассных мероприятиях по предмету и в кружковой работе.

  • Цель исследования — с помощью четырехугольной пирамиды, ориентированной по сторонам света, проверить таинственную энергетику, которую приписывают пирамидам. Выявить их влияние на прорастание семян различных культур, на сохранность продуктов питания и на напряжение гальванических элементов.

  • Цель работы – приоткрыть завесу тайн, связанных с числом 3. Автор работы попытается выяснить связь числа 3 с устным народным творчеством; узнать о значении числа 3; а также ознакомиться с произведениями, в которых упоминается число 3.

  • Числа повсеместно присутствуют в нашей жизни. Данная работа посвящена числу 12, о котором говорят, что оно таинственное и священное. Число 12 означает мировую гармонию и порядок, данные человеку в виде законов. Что означало число 12 для наших предков? Какова актуальность числа в современном мире? На эти вопросы можно найти ответы в предлагаемой работе.

  • Цель работы: выяснить, почему числу 7 придаётся мистическое, сверхъестественное, таинственное значение. В работе рассматриваются случаи, в которых чаще всего встречается число 7, и почему природа отдаёт предпочтение этому числу. В результате найдено объяснение таинственности числа 7 и это объяснение проверено экспериментально.

  • В работе рассказывается о важной роли числа 7 в религии и веровании людей, в искусстве и языке, в науке и технике. Приводится несколько версий, почему число 7 имеет такую популярность и знакомит с таким понятием, как инженерная психология.

  • В работе отражены исторические факты открытия листа Мёбиуса, описаны удивительные свойства необычной ленты, продемонстрированы эксперименты, показано использование таинственного листа Мёбиуса.

  • Слышали ли вы когда–нибудь о листе Мёбиуса? В первый раз мы узнали о нём на уроке математика и логика. Нас очень заинтересовала, заинтриговала эта тема. Мы изучили литературу, затем сами изготовила лист Мебиуса, а потом проводили исследования, ставя опыты, изучая его волшебные, необыкновенные свойства. Наша работа познакомит вас с историей возникновения листа Мёбиуса; научит изготавливать Лист Мёбиуса; вы узнаете, каковы его топологические свойства и где они используются.

  • В своей работе я покажу, как связан треугольник Паскаля с рядом натуральных чисел, простых чисел. Немного расскажу о треугольных и пирамидальных числах, о связи этих чисел с треугольником Паскаля. Мы увидим связь чисел Каталана с треугольником Паскаля. С помощью треугольника Паскаля я рассмотрю и покажу, как сумму или разность двух выражений возводить в любую степень.

  • В работе представлены сведения о V постулате Евклида, попытках его доказательства, его эквивалентах и историческом значении.

  • Знакомство с различными магическими квадратами и изучение областей их применения.

  • Автор исследует чётные двузначные, трёхзначные, четырёхзначные числа. Обнаруживается интересная закономерность….

  • В работе содержится информация, которая поможет вам подробнее познакомиться с различными видами четырехугольников. Вы узнаете определения, свойства, признаки, а также все разнообразие формул, связанных с этими фигурами.

  • В работе рассмотрена история пентаграммы у разных народов, способы ее построения, математические свойства. Представлена презентация, посвященная истории возникновения звездчатого пятиугольника и его математическим свойствам.

  • В работе представлена история открытия и развития золотого сечения, рассматриваются интересные и необычные свойства этой пропорции. Основная цель работы – показать многообразие сфер применения “Божественной пропорции” в жизнедеятельности человека. Рассматривается роль золотого сечения в различных видах искусства (живопись, архитектура, скульптура, литература, музыка, кинематограф) и в биологии.

  • В своей работе я постаралась показать, что золотое сечение сопровождает нас повсюду: в природе, скульптуре, архитектуре, живописи и даже в теле человека. В представленной презентации тема рассмотрена в историческом аспекте, приведенные примеры подробно рассмотрены и проиллюстрированы.

  • Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

    l_c = {sqrt{ab(a b c)(a b-c)}over{a b}}здесь)
    l_c = sqrt{ab-a_lb_l}
    l_cc
    a, b, cA, B, C
    a_l, b_ll_cc

    Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

    Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
    1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
    2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
    3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

    Задача на свойства биссектрисы

    Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

    Применение биссектрисы на практике

    Биссектриса не является лишь абстрактным математическим понятием. На самом деле без знания этого термина и его сути невозможно обойтись во многих сферах: при строительстве крыши, при защите радиовысотомеров от радиолокационных ракет, при конструировании кораблей, при исследовании следов орудий взлома и так далее.

    Свойства биссектрисы треугольника

    1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.

    2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон. 


    Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.

    Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:

    Площадь описанного многоугольника равна:


    S = p∗r

    где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.

    Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.

    Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;

    3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.

    Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;

    4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.


    В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.

    Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;

    5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;

    6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;

    7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:

    «Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

    Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;

    8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.

    1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 оценок, среднее: 4,00 из 5)
    Загрузка...

    Leave a Reply

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.